去年7月，北京大學數學科學學院概率統計系教授丁劍和2020級博士生劉昱、夏傲騰合作的論文在國際數學頂尖期刊 Inventiones mathematicae 在線發表。
該研究綜合運用了粗粒化（重整化）方法、隨機分割算法、Edwards-Sokal耦合、Peierls論證等技術，證明了帶隨機外場的三維伊辛模型的臨界溫度隨著外場強度趨于0收斂于經典伊辛模型的臨界溫度。這一結果在數學上證實了物理學家Imry和馬上庚在上世紀七十年代提出的Imry-Ma猜想中相當重要的一部分，為無序系統相變現象的研究提供了新的框架和視角。
今年7月，兩位同學即將從北京大學數學科學學院畢業。他們這篇論文的發表，為在北大的數學博士生涯添上了濃墨重彩的一筆。在迎來這一高光時刻之前，他們都經歷了怎樣的科研歷程？這一重要成果對他們的未來發展意味著什么？讓我們來聽聽劉昱和夏傲騰同學的分享。
劉昱
劉昱，2020年本科畢業于山東大學泰山學堂數學方向，同年在北京大學數學科學學院開始攻讀博士學位，導師為李欣意。主要研究方向為滲流模型的相變現象。
夏傲騰
夏傲騰，2020年本科畢業于北京大學數學科學學院，同年在北京大學數學科學學院開始攻讀博士學位，導師為田剛、李欣意。主要研究興趣為晶格上的隨機模型的相變現象與近臨界行為。
能否用通俗簡約的語言描述一下你們與丁劍老師合作發表在Inventiones mathematicae上的工作？
伊辛模型是研究鐵磁體磁性隨溫度發生相變現象的簡化模型。具體來說，假設鐵磁體由多個微小磁性單元組成，每個單元可被想象成可以取兩個狀態：+1（向上）或-1（向下）的自旋粒子。而系統總能量與這些自旋粒子及他們鄰接粒子的狀態緊密相關，在不受外界干擾時，系統會趨向于呈現微小粒子具有相同自旋的情形。當然，溫度、外部條件（外場）也會影響整個系統的排布。無外場的二維以上的經典伊辛模型關于溫度的變化存在一個非平凡的相變現象：我們能夠找到一個臨界溫度，若低于這個溫度，自旋趨向有序排列，導致整體系統呈現有序磁性（簡稱磁序）；而一旦高于這個溫度，則自旋無序排列，無法產生統一的磁場。
數學上已有研究證明了極低溫度下磁序的存在性。我們的文章綜合運用了離散概率論中研究隨機格點模型的滲流性質的多種工具，尤其是受統計物理學中重整化群思想啟發的粗粒化技術，證明了帶隨機外場的伊辛模型的臨界溫度隨著外場強度趨于0收斂于經典伊辛模型的臨界溫度；換言之，較小的外場只會對臨界溫度造成較小的擾動。
聽起來，你們這個研究似乎更像是物理問題？
我們的研究方向是概率論與統計物理的交叉，關注有統計物理背景的概率模型。統計物理學家認為，微觀粒子的運動具有隨機性，這種微觀層面的隨機性產生的統計規律，在大尺度上表現出確定性，造就了宏觀層面的物理現象。物理學家對微觀粒子的運動與相互作用提出了許多簡化的模型，并依據這些模型做出物理層面的預測。盡管一些預測的正確性被普遍認可，但從數學角度看，這些預測還沒有得到嚴格的數學證明。因此，概率論與統計物理的交叉領域，面臨著數學證明與物理學預測之間的“追趕”問題。李欣意老師在科普講座中提到過這樣的比喻：
物理學家像老鷹，飛得高看得遠；數學家像烏龜，在地上不慌不忙地爬行（有時候還會把腦袋縮回去），但每一步都很踏實，也能到達一些老鷹去不了的地方。
這形象地表達了物理預測的前瞻性與數學嚴格化之間的平衡。預測是非常重要的，往往也能給數學家的研究引領方向，但問題的嚴格化和數學證明卻往往非常困難，這也是我們方向的最大機遇和挑戰。
論文寫作過程如何？有沒有什么難忘的經歷？
2022年春季學期，丁劍老師開設了《隨機過程2》專題課程，每節課都圍繞一個公開問題（open problem）展開。同學們戲稱這門課為丁老師不會的15個問題，而我們的研究正是源于其中一個課題——三維及以上隨機外場伊辛模型。在課堂上，丁老師通過示意圖與理論推導相結合的方式，詳細講解了無外場情形下的經典Peierls論證方法，并將問題拓展至存在高斯外場的復雜場景。他系統地梳理了該領域的重要里程碑成果，引導我們逐步深入，最終形成了這項研究。
從2022年3月開始，我們與丁老師圍繞這個課題展開了深入討論。有時在他的辦公室一待就是一整天，從早到晚持續探討。每當遇到瓶頸時，丁老師就會拿出零食與我們分享，我們一邊吃著零食，一邊對著黑板冥思苦想。
?討論時的黑板
在10月投稿前，期間證明其實“掛”過兩次。5月份時，我們以為已經完成了研究，但在撰寫五十多頁的論文時，發現一個重要引理無法證明。為了繞過這個難點，我們付出了大量努力。到了9月暑假結束后，又發現修改后的證明框架仍然存在根本性錯誤——一個基本假設被反例推翻。然而，正是從這個反例出發，我們最終找到了正確的方向。
雖然整個前面的過程全部是錯的，但是是一次錯誤但成功的嘗試。
在博士二年級時，我們對科研還缺乏深入的認識，難以準確判斷問題的難度級別。回想起來，如果丁劍老師一開始就告訴我們這個課題是一個困擾學界幾十年的公開難題，我們可能在中途就會因為畏難而放棄。但丁老師巧妙地將其設計成一份看似可以完成的課堂大作業，極大地降低了我們的心理壓力，讓我們能夠以更輕松的心態投入研究。
在北大的博士學習生活中，學術氛圍怎么樣？朋輩關系如何？
在我們這一屆學生就讀期間，見證了概率系的“豹變”。李欣意老師回到北京國際數學研究中心任教后，不僅承擔了《高等概率論》的教學工作，還開設了多門概率專題選修課程。同時，他定期組織研究方向的學術討論班，以及面向本科生的3+X討論班，大大增進了本科生與博士生之間的學術交流。
隨著團隊規模不斷擴大，原本僅有四五人的小型討論班逐漸吸引了眾多本專業研究生和對概率論感興趣的本科生。通過這種互動，我們既能夠接觸到許多優秀的本科生，也能幫助他們更快掌握該領域的基礎知識。
特別值得一提的是，隨著許惟鈞、丁劍、孫鑫等杰出學者陸續加入學院和研究中心，選擇概率方向的本科生人數持續增加，整個學科呈現出蓬勃發展的態勢。
?討論班合影（左一：劉昱，左四：夏傲騰）
這形成了一個正向的循環。
在科研過程中，我們并沒有感受到過強的同輩競爭壓力。實際上，這種壓力很大程度上取決于個人的心態。我們屬于比較“佛系”的，看到身邊同學都很優秀時，反而會為能被他們帶動而感到高興。但對于性格敏感、好勝心強的研究者來說，長期從事學術工作確實可能承受較大的心理壓力。
值得一提的是，導師們在安排研究方向時非常用心，盡量避免無效“內卷”。比如，通常會讓同年級的學生選擇不同領域，這樣就減少了直接比較的可能性。
我們發現一個特別有意思的合作模式：當老師與學生開展研究時，最好能有兩名或以上的學生共同參與。這樣的好處顯而易見：首先，我們可以私下討論解決一些基礎問題，避免因為問題太簡單而不好意思請教老師；其次，遇到困難時互相鼓勵，心態會更輕松——畢竟當研究遇到瓶頸時，知道不是自己一個人的問題，壓力就會小很多（笑）！這種合作模式既提高了學習效率，也營造了更輕松的科研氛圍。
就讀期間，對導師感受如何？
在學術風格和學術品味的培養方面，李欣意老師展現出了極大的耐心，通過潛移默化的方式影響著我們。他善于運用生動的比喻（常常與食物相關）來解釋模型的典型行為，并引導我們在聽完講座后提煉出“take-home message”——即抓住最直觀、最關鍵的部分。這種訓練讓我們逐漸養成了從直覺和直觀角度理解問題的思維方式。不同導師有著各自獨特的指導風格。
丁劍老師對學生要求嚴格，若我們未能達到標準，他會直率地指出問題。公允地說，他是“刀子嘴豆腐心”，對事不對人，嚴厲背后是殷切的期望。我們總結出的應對之道就是：虛心接受批評，回去加倍努力。相比之下，李老師更能包容學生情緒和工作效率的波動，交流時可以暢所欲言。因此我們常開玩笑說，對于剛接觸概率方向的“新鮮原材料”（學生），最好先經過李老師的“焯水”處理，再跟隨丁老師進行科研訓練，以免直接被嚴苛的標準“嚇跑”。
夏傲騰補充道：“田剛老師即使行程再繁忙，出差返京后也總是第一時間組織討論班。每學期他都會定期與我見面，在大方向上給予指導，并為我的博士后選擇提供了寶貴建議。”可以說，我們非常幸運能遇到這些優秀的導師，他們都愿意傾注大量時間悉心培養學生。
?師生出游（左一：劉昱，居中：李欣意，左五：夏傲騰）
在數院讀博期間，最難忘的經歷是什么？
劉：雖然有靈感迸發的瞬間，但是失敗過幾次后會趨向于普通，也是一個心理上不斷調試的過程。起初，你可能發現了什么都很驚喜，然而隨著時間推移，逐漸意識到（這可能意味著你已經成長）已經不再將其當作心理上的收獲。
夏：我印象非常深刻的是，有一個下午，我們的文章還差一個定理。我突然意識到遇到的問題與以前閱讀過的一篇文章有些相似，于是我問丁老師這個問題能否也類似處理。我們試了一下確實奏效。在具體的那一個下午的一個小時里，我想得比丁老師快了那么一點。我覺得，這還是挺不容易的。
自從我進入學術研究那一刻起，我意識到并非所有人都是開疆拓土的人，總要有人在后面修修補補。
即將畢業，對學弟學妹們有什么建議？
劉：個人建議本科生在大一大二時多去嘗試。盡早確立自己感興趣的方向，可能是更好的。如果一開始就決定去業界，可以去實習實踐；如果打算做學術研究的話，可以早點了解不同方向上的老師和研究細節，早點進入的“容錯率”會更高。
夏：我是從博二才開始在科研上實質性地起步。在（概率論）特定方向的門檻并不高，無需學習太多前置知識。開始得早當然好，如果開始得晚，也不要坐在地上看著別人哭，那也沒用。什么時候開始都可以，遇到好的老師、匹配的科研項目也很重要。
為什么選擇在北大讀博士？
大家之前傾向于出國的最重要原因是，那時國外的學術氛圍相對較好。但是，如果學術環境不相上下，待在自己熟悉的環境里會舒服很多，在國外處理語言問題和各種生活問題會花費大量精力。北大有世界top的生源，現在在很多方向上也具備國際頂尖的師資隊伍和空前活躍的學術氛圍。
現在國內的學術環境很好，留在國內讀博也是很好的選擇。
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